Obliczenia procentowe

1. Zmieszano 350 g 15-procentowego roztworu cukru z pewną ilością 20-procentowego roztworu cukru i otrzymano 0,5 kg roztworu. Ile cukru jest w tym roztworze?

2. Woda stanowi 90% pewnego świeżego owocu. Ten sam owoc po wysuszeniu zawiera 40% wody.
a) Ile waży owoc po wysuszeniu, jeśli świeży ważył 600 g?
b) Ile ważył owoc przed wysuszeniem, jeśli po wysuszeniu waży 120 g?

3. Suma liczb a i b wynosi c. Liczba a stanowi 40% liczby c.
a) Oblicz liczbę b, jeżeli c = 1230.
b) Jakim procentem liczby b jest liczba a?
c) Jakim procentem liczby a jest liczba b?

4. Cenę parasolki obniżano 3 razy, za każdym razem o 10%. Teraz można ją kupić za 43 zł 74 gr. Ile kosztowała parasolka przed pierwszą obniżką?

5. Na dwie lokaty wpłacono po 1000 zł. Oprocentowanie na jednej z nich było równe 4% w stosunku rocznym i pieniądze wypłacono z niej po upływie 1 roku. Oprocentowanie drugiej wynosiło 2% w stosunku rocznym i pieniądze wypłacono z niej po upływie dwóch lat. Która wypłata była wyższa i o ile?

Dowodzenie w geometrii

1. Kąt C trójkąta równoramiennego ABC został podzielony na trzy równe części, tak, jak na rysunku. Wykaż, że:
β= 60 + 1/3 α

 2. Wykaż, że zgodnie z oznaczeniami na rysunku poniżej: a+b+c+d = 360 - 2α

 3. Wykaż, że przy takich oznaczeniach jak na rysunku:

β= 2 α - 180

4. Wewnątrz równoległoboku wybrano dowolny punkt i połączono go odcinkami z wierzchołkami tak, jak pokazano na rysunku. Wykaż, że suma pól trójkątów I i III jest równa sumie pól trójkątów II i IV.

5. Dwa trapezy równoramienne ABDG i DEFG połączono krótszymi podstawami tak, jak na rysunku. Wykaż, że czworokąt ABEF też jest trapezem równoramiennym.

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

1. Bok rombu ma długość 7 cm, a jedna z jego przekątnych ma 10 cm. Oblicz pole tego rombu.

2. Krótsza przekątna trapezu prostokątnego ma długość 8 cm i dzieli ten trapez na dwa trójkaty prostokątne równoramienne. Oblicz pole tego trapezu.

3. Jedna z podstaw trapezu ma długość 20, każde z ramion ma długość 13, a wysokość wynosi 12. Oblicz pole tego trapezu. Rozważ trzy przypadki.

4. Oblicz pole rombu zbudowanego z dwóch trójkątów równobocznych, jeżeli dłuższa przekątna rombu ma długość 6.

5. Oblicz wysokość trapezu równoramiennego o danej przekątnej d oraz podstawach długości 6 i 10.
a) d = 10
b) d = 12
c) d = 16

Twierdzenia Pitagorasa

1. Maciek znalazł w dziupli kartkę ze wskazówkami, gdzie ukryty jest skarb. 
Idź przed siebie 60 kroków, następnie skręć w lewo i przejdź 80 kroków. Tam, gdzie się zatrzymasz, zakopany jest skarb.
W jakiej odległości od drzewa zakopany jest skarb?

2. Oblicz wysokość  opuszczoną na podstawę trójkąta równoramiennego o bokach 10 cm, 10 cm, 12 cm.

3. Boki trapezu równoramiennego  mają długości 5 cm, 4 cm, 5 cm i 10 cm. Oblicz pole tego trapezu.

4. Helikopter wystartował z lotniska i po pokonaniu 5 km w kierunku południowym wylądował, by wziąć chorego. Następnie poleciał do szpitala odległego o 12 km w kierunku wschodnim. Jaka jest odległość w linii prostej szpitala od lotniska?

5.Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątne i przyprostokątna mają podane długości:
a) 5 cm, 3 cm
b) 6 dm, 2 dm

Trójkąty i czworokąty

1. Jeden z kątów trapezu równoramiennego jest 4 razy większy od drugiego kąta. Jakie miary mają kąty tego trapezu?

2. Dwa boki trójkąta mają długości 3 i 6. Długość trzeciego boku wyrażona jest liczbą całkowitą. Wymień wszystkie możliwe długości tego boku.

3. Wykaż, że przekątne dowolnego prostokąta dzielą go na cztery trójkąty o jednakowych polach.

4. Który z opisywanych czworokątów ma większe pole? O ile większe?
a) romb o przekątnych długości 5 cm i 14 cm czy romb o boku 9 cm i wysokości 4 cm
b) kwadrat o boku 9 cm czy równoległobok o boku 18 cm i wysokości opuszczonej na ten bok o długości 5 cm
c) trapez o podstawach 1 cm i 19 cm oraz wysokości 2 cm czy kwadrat o przekątnej 6 cm.

5. a) Jedna z przekątnych rombu jest nachylona do boku pod kątem 23⁰. Oblicz miary kątów tego rombu.
b) Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem 34º. Oblicz miary kątów, jakie tworzą przekątne z bokami tego prostokąta.

Proporcje, wielkości wprost proporcjonalne

1. Rozwiąż równanie
a) (x + 1) / x = 3 / 2
b) 3 / 5 = x / (x - 4)
c) (2x - 6) / (x - 2) = 2 / 3
d) 6 / (9x + 2) = 4 / (6x +1)

2. W pudelku jest 6 kulek białych i  4 czarne. Do pudełka wrzucono po tyle samo kulek czarnych i białych i teraz stosunek liczby kulek białych do liczby kulek czarnych wynosi 4:3. Ile kulek wrzucono do pudełka?

3.
Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka jak herbata w szklance? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 litrów.

4. Przygotowując zapasy żywności na wyprawę, przyjęto, że dziennie na trzy osoby będzie przypadać 0,45 kg cebuli. Oblicz dzienną porcję cebuli dla 8 członków wyprawy.

5. Według przepisu na zupę jarzynową dla 4 osób potrzeba 60 dag warzyw i 1,2 l wody. Ile należy wziąć tych składników, przygotowując zupę dla 7 osób?