Trójkąty i czworokąty

1. Jeden z kątów trapezu równoramiennego jest 4 razy większy od drugiego kąta. Jakie miary mają kąty tego trapezu?

2. Dwa boki trójkąta mają długości 3 i 6. Długość trzeciego boku wyrażona jest liczbą całkowitą. Wymień wszystkie możliwe długości tego boku.

3. Wykaż, że przekątne dowolnego prostokąta dzielą go na cztery trójkąty o jednakowych polach.

4. Który z opisywanych czworokątów ma większe pole? O ile większe?
a) romb o przekątnych długości 5 cm i 14 cm czy romb o boku 9 cm i wysokości 4 cm
b) kwadrat o boku 9 cm czy równoległobok o boku 18 cm i wysokości opuszczonej na ten bok o długości 5 cm
c) trapez o podstawach 1 cm i 19 cm oraz wysokości 2 cm czy kwadrat o przekątnej 6 cm.

5. a) Jedna z przekątnych rombu jest nachylona do boku pod kątem 23⁰. Oblicz miary kątów tego rombu.
b) Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem 34º. Oblicz miary kątów, jakie tworzą przekątne z bokami tego prostokąta.

Proporcje, wielkości wprost proporcjonalne

1. Rozwiąż równanie
a) (x + 1) / x = 3 / 2
b) 3 / 5 = x / (x - 4)
c) (2x - 6) / (x - 2) = 2 / 3
d) 6 / (9x + 2) = 4 / (6x +1)

2. W pudelku jest 6 kulek białych i  4 czarne. Do pudełka wrzucono po tyle samo kulek czarnych i białych i teraz stosunek liczby kulek białych do liczby kulek czarnych wynosi 4:3. Ile kulek wrzucono do pudełka?

3.
Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka jak herbata w szklance? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 litrów.

4. Przygotowując zapasy żywności na wyprawę, przyjęto, że dziennie na trzy osoby będzie przypadać 0,45 kg cebuli. Oblicz dzienną porcję cebuli dla 8 członków wyprawy.

5. Według przepisu na zupę jarzynową dla 4 osób potrzeba 60 dag warzyw i 1,2 l wody. Ile należy wziąć tych składników, przygotowując zupę dla 7 osób?

Przekształcenia algebraiczne i równania

1. Uprość wyrażenie:
a) (2x - 3)(x + 7) =
b) (4 - 5y)(1 - 6y) =
c) (3a + 5)² =
d) (3a - 5)² =
e) -(3 + 2x)(x - 2) =
f) (a + 3)(a - 3) =

2. Zapisz odpowiedzi w postaci wyrażeń algebraicznych:
a) Opakowanie z 28 sucharkami waży w gramów. Skrobia stanowi ⁶/₁₀ masy sucharków. Ile gramów skrobi zawiera jeden sucharek?
b) Jednorazowy bilet autobusowy kosztuje a zł, a bilet miesięczny b zł. O ile więcej kosztuje 40 biletów jednorazowych od biletu miesięcznego?

3. Uzasadnij, że różnica kwadratów dowolnych dwóch liczb dodatnich różniących się o 1 jest równa sumie tych liczb. 

4. Rozwiąż równanie:
a) -5x + 3 = 7x + 8
b) 6(x + 4) = -3(-2x - 5)

5.  Magda stwierdziła, że ma tylko 10 zł w skarbonce, a jej siostra Ania ma 190 zł. Postanowiła co tydzień odkładać do skarbonki 2 zł, podczas gdy Ania co tydzień wydawała 10 zł ze swoich oszczędności. Po ilu tygodniach siostry będą miały tyle samo pieniędzy?

Działania na potęgach i pierwiastkach

1.Oblicz. Wynik zapisz w notacji wykładniczej:
a) 2 ・ 10⁶ + 7・ 10⁶ =
b) 5,4 ・10⁻⁵ + 3,2 ・10⁻⁵ =
c) 3,6 ・10⁸ - 6 ・10⁷ =
d) 1,38 ・10¹¹ - 2,1・ 10¹º =

2. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka i zapisz w jak najprostszej postaci:
a) ⎷20 + ⎷45 =
b) ⎷8 - ⎷200 =
c) - ⎷75 + ⎷27 =

3. Powierzchnia Ziemi jest równa 5,1 ・10¹⁴ m², a Księżyca 3,8 ・10¹³ m². O ile powierzchnia Ziemi jest większa od powierzchni Księżyca?

4. Pierwiastek kwadratowy z iloczynu liczb dodatnich a i b pomnożono przez pierwiastek z ilorazu liczby a przez liczbę b. Jaki wynik otrzymano?

5. Znajdź liczby x, n, s:
2¹² = 4ˣ = 8ⁿ = 64ˢ

Działania na liczbach.

1. Znajdź NWD i NWW liczb:
a) 11 i 13
b) 11 i 22
c) 22 i 26
d) 36 i 54
e) 90 i 135
f) 240 i 600

2. a) Rozłóż liczbę 60 na czynniki pierwsze.
b) Wymień wszystkie dzielniki liczby 60, które są podzielne przez 6.
c) Znajdź wszystkie pary liczb, których największym wspólnym dzielnikiem jest 6, a najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 60.

3. Zapisz liczbę w notacji wykładniczej:
a) 3000                              e) 1,0765
b) 120 000                         f) 10,879
c) 0,12                               g) 9876,546
d) 0,00387                         h) 0,00001

4. Oblicz:
a) (3,75 + 1 ³/₈ ) : 2 =
b) (1,25 - 2 ²/₃) •6 =
c) -1,6 : 3 ¹¹/₁₅ + 1 ³/₁₄ =
d) (0,3 + ⁴/₅) : (6¹/₁₅ - ²/₃) =

5. Podczas deszczu na każdy metr kwadratowy spadło 15 litrów wody.
a) O ile milimetrów zwiększyła się w wyniku tego deszczu głębokość wody w otwartym basenie?
b) Ile metrów sześciennych wody spadło na park, który ma powierzchnię 0,2 km² ?

System rzymski

1. Zapisz podane liczby w systemie rzymskim:
24,  38,  564,  879,  1960,  2017,  3688

2. Zapisz podane liczby w systemie dziesiątkowym:
LXXXVII        CLIX     CCCXLIV     CMXLIX     DCCCLXXXVII     MDCCXXXII

3.Wykonaj działania. Zapisz wynik w systemie rzymskim.
a) MMCLVII + CMLXXII =
b) CDLII - LXXXVIII =
MMMCDL - DLXXI =

4. Z podanych znaków rzymskich ułóż dwie liczby, których suma zapisana w systemie rzymskim wynosi C:
a) C, X, X
b) L, X, X, X, X, X
c) L, L, X, V, V, I, I

5. Na dwóch budynkach stojących przy pewnej ulicy umieszczono daty ukończenia ich budowy: MDCCCXL i MCMXXI. Ile lat upłynęło między upamiętnionymi wydarzeniami?