Symetria wzgledem punktu. Śodek symetrii figury.

1.
a) Narysuj dowolny kwadrat. Skonstruuj kwadrat symetryczny do narysowanego kwadratu względem jednego z jego wierzchołków.
b) Narysuj dowolny trójkąt równoboczny. Skonstruuj trójkąt symetryczne do niego względem środka jednego z boków.
c) Narysuj dowolny deltoid. Skonstruuj deltoid symetryczny do niego wzgledem punktu przecięcia się jego przekątnych.

2. Które z poniższych zdań są prawdziwe?
a) Kąty wierzchołkowe są symetryczne względem punktu, który jest ich wierzchołkiem.
b) Kąty naprzemianległe są symetryczne względem punktu, który jest środkiem odcinka łączącego ich wierzchołki.
c) Kąty przyległe są symetryczne względem punktu leżacego na ich wspólnym ramieniu.
d) Kąty odpowiadające są symetryczne wzgledem punktu, który jest środkiem odcinka łączącego ich wierzchołki.

3.
a) Narysuj dowolny trójkąt. Zbuduj trzy różne figury środkowosymetryczne, każdą z dwóch trójkątów przystających do narysowanego. Trójkąty te nie mogą zachodzić na siebie.
b) Narysuj dowolny prostokąt, Zbuduj trzy różne figury środkowosymetryczne, każdą z trzech prostokątów przystających do narysowanego. Prostokąty te nie mogą zachodzić na siebie.
c) Narysuj dowolny kwadrat. Zbuduj trzy różne figury środkowosymetryczne, każdą z czterech kwadratów przystających do narysowanego. Kwadraty te nie mogą zachodzić na siebie.

4. Znajdź współrzędne środka symetrii:
a) prostokąta o wierzchołkach: (-320; 110)   (-330; 110)   (-320; -420)   (-330; -420)
b) rombu o wierzchołkach: (-240; -240)   (120; 0)   (480; -240)   (120; - 480)
c) kwadratu o wierzchołkach: (-520; -110)   (380; -110)   (-520; 790)   (380; 790)

5. Środkiem symetrii pewnego rombu jest punkt (-3; 5), a dwa z jego wierzchołków mają współrzędne (-12; 5) i (-3; 8). Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków  i pole tego rombu.

Symetria względem prostej. Oś symetrii figury.

1. Dane są punkty:
A(3; -5)   B(-1,5; 2)  C(-420; 0)   D(0; 370)  E(-140; -250)  F(630; -150)  G(330; 240)  H(-210; 450).
Podaj współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów :
a) względem osi x
b) względem osi y.

2. Które z poniższych zdań są prawdziwe?
a) Jeżeli dwa punkty leżą w równych odległościach od pewnej prostej, to są symetryczne względem tej prostej.
b) Dla dowolnych dwóch punktów można znaleźć prostą, względem której te punkty będą symetryczne.
c) Punkt, który jest symetryczny do siebie samego względem pewnej prostej, musi leżeć na tej prostej.
d) Figury symetryczne względem prostej są przystające.

3.
a) Bok trójkąta równobocznego ABC ma długość 5 cm. Trójkąt A'B'C' jest symetryczny do trójkąta ABC względem prostej zawierającej bok BC. Oblicz obwód czworokąta zbudowanego z obu tych trójkątów.
b) Boki prostokąta ABCD mają długości 2 cm i 3 cm. Prostokąt A'B'C'D' jest symetryczny do prostokąta ABCD względem prostej zawierającej jeden z boków tego prostokąta. Oblicz obwód czworokąta zbudowanego z obu tych prostokątów. Rozważ dwa przypadki.

4. Narysuj figurę, której:
a) osią symetrii jest prosta równoległa do osi x i przechodząca przez punkt (0; 4)
b) osią symetrii jest prosta równoległa do osi y i przechodząca przez punkt (-2; 0).

5. Kwadrat o boku 5 cm odbito symetrycznie wzgledem pewnej prostej.
a) Jakie jest najmniejsze, a jakie największe pole figury złożonej z tego kwadratu i jego odbicia?
b) Oś symetrii jest równoległa do jednego z boków kwadratu. Jakie sa długości odcinków, na które oś dzieli boki kwadratu do niej prostopadłe, jeżeli figura złożona z tego kwadratu i jego odbicia ma pole równe 35 m²?
c) Oś symetrii jest równoległa do jednego z boków kwadratu. Jakie są długości odcinków, na które oś dzieli boki kwadratu do niej prostopadłe, jeżeli pole części wspólnej kwadratu i jego odbicia symetrycznego jest równe 20 m²?

Objętość ostrosłupa

1. Jaką wysokość powinien mieć ostrosłup, żeby miał objętość równą 2 m³ i jego podstawą był:
a) kwadrat o boku długości 5 m;
b) prostokąt o wymiarach 5 dm x 40 dm;
c) romb o przekątnych długości 6 m i 5 cm.

2. Jaką największą objętość może mieć ostrosłup włożony do pudełka o wymiarach 3cm x 4cm x 5cm tak, że jego podstawa leży na jednej ze ścianek pudełka?

3. Na dziedzińcu Luwr postawiono przeszklony budynek w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Podstawa tego ostrosłupa ma krawędź długości 35 m, a wysokość jest równa 21,6 m
a) Jaka jest objętość tego budynku?
b) Jaka jest powierzchnia jego ścian 9. Wynik podaj z dokładnością do 1 m².

4. Wysokość czworościanu foremnego wynosi 4. Oblicz wysokość ściany bocznej tego czworościanu.

5. Podstawą ostrosłupa o wysokości 8 cm jest romb o przekątnych 8 cm i 12 cm. Spodek wysokości tego ostrosłupa leży w punkcie przecięcia przekątnych podstawy. Oblicz długości krawędzi tego ostrosłupa.

Pole powierzchni ostrosłupa

1. Z drutu o długości 3 m zbudowano szkielet ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego. Ustal, jakie długości mają krawędzie tego ostrosłupa, jeśli:
a) wszystkie krawędzie mają jednakowe długości;
b) krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy;
c) krawędź podstawy jest pięć razy krótsza od od krawędzi bocznej.

2. Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe 8√6, a wysokość jego ściany bocznej ma długość 8. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

3. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego dziesięciokątnego ma 14 cm, a krawędź boczna ma 25 cm. Pole powierzchni ostrosłupa jest równe 3188 cm². Oblicz pole podstawy tego ostrosłupa.

4. Graniastosłup i ostrosłup są prawidłowe i mają jednakowe pola powierzchni całkowitej. Ich podstawami są kwadraty o boku 6 cm. Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 2 cm. Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

5. W pewnym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. Suma długości wszystkich krawędzi wynosi 48 cm. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

Graniastosłupy

1. W pewnym graniastosłupie prawidłowym trójkątnym suma długości krawędzi bocznych jest równa sumie długości krawędzi obu podstaw. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 60 cm. Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

2. Wykopano dół o wymiarach 4 m x 4 m i głębokości 50 cm i napełniono go piaskiem. Ile waży ten piasek, jeżeli jego 1 litr waży 1,5 kg?

3. Suma długości krawędzi sześcianu jest równa p cm, a jego pole powierzchni całkowitej p cm². Oblicz wartość p.

4. Oblicz długości przekątnych ścian bocznych graniastosłupa prostego o wysokości 5 cm, którego podstawą jest czworokąt o bokach 3 cm, 5 cm, 10 cm, 12 cm.

5. Oblicz długość przekątnych graniastosłupa o wysokości 2 m, którego podstawą jest:
a) kwadrat o boku długości 3 m;
b) prostokąt o bokach długości 1 m i 3 m;
c) romb o przekątnych długości 1 m i 3 m.

Obliczanie prawdopodobieństw

1.

W pudełku znajdują się żetony o kształtach i kolorach takich jak na rysunku. Z pudełka wyciągamy losowo jeden żeton.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyciągnięty żeton jest biały?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyciągnięty żeton jest szary?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyciągnięty żeton jest okrągły?
d) Wyciągnięty żeton jest niebieski. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że  jest on kwadratowy?
e) Wyciągnięty żeton jest trójkątny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że  jest on biały?
f) Wyciągnięty żeton jest kwadratowy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że  jest on niebieski?
g) Wyciągnięty żeton jest biały. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że  jest on kwadratowy?

2.

W misce znajdują się krakersy cebulowe i serowe, a niektóre z nich są solone. Liczby poszczególnych krakersów w misce przedstawiono w tabeli.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania z miski solonego krakersa serowego?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania z miski krakersa cebulowego?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania z miski krakersa bez soli?
d) wylosowany krakers jest cebulowy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że nie jest on solony?
e) Wylosowano krakersa bez soli. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest on cebulowy?

3. W worku z orzechami stosunek orzechów pełnych do pustych jest równy 7:1. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania z tego worka orzecha pełnego?

4. W miseczce zmieszano oliwki czarne z zielonymi w stosunku 3:7. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana oliwka będzie czarna?

5. W torebce pastylki miętowe zmieszano z owocowymi i cynamonowymi w stosunku 4:3:2. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana pastylka będzie owocowa?

Podział proporcjonalny

1. W misce zmieszano 48 orzechów dwóch rodzajów w taki sposób, że stosunek liczby orzechów laskowych do liczby orzechów włoskich wynosi 5:1. Ile orzechów laskowych jest w misce?

2. W płocie są 42 sztachety. Stosunek liczby pomalowanych sztachet do niepomalowanych jest równy 3:4. Ile sztachet pozostało do pomalowania?

3. Ile potrzeba soku pomarańczowego, a ile grejpfrutowego, aby po zmieszaniu ich w stosunku 2:3 otrzymać 3 litry napoju?

4. Stosunek miar kątów trójkąta wynosi 1:3:5.  Oblicz ich miary.

5. Sznur rozcięto na trzy kawałki, których długości były w stosunku 1:2:7. Najdłuższy kawałek był o 1,5 metra dłuższy od najkrótszego. Jak długi był ten sznurek przed rozcięciem?

Vat i inne podatki

1. Oblicz wysokość odsetek, jakie otrzymasz jeśli wpłaciłeś do banku kwotę 9000 zł, a oprocentowanie roczne wynosi 5%?

2. Stawka Vat przy sprzedaży instrumentów muzycznych wynosi 23%. Cena brutto pewnego pianina elektronicznego wynosi 7564 zł. Jaka jest jego cena netto?

3. W pewnym hotelu cena netto jednego noclegu wynosi 150 zł. Klient zapłacił za trzy noclegi 486 zł. Jaką łącznie kwotę podatku Vat mu naliczono i według jakiej stawki?

4. Pewna firma elektroniczna oferuje telefoniczne połączenia międzynarodowe w cenie netto 20 gr za minutę. Do tej kwoty dolicza podatek Vat w wysokości 23% zaokrąglony do pełnych groszy.
a) Oblicz cenę brutto takiego połączenia trwającego minutę.
b) Oblicz kwotę podatku dla połączenia trwającego 30 minut, a następnie ustal,  o ile niższy byłby podatek za to połączenie, gdyby byl doliczany do ceny netto po zakończeniu rozmowy.

5. Na dwie lokaty wpłacono po 1000 zł. Oprocentowanie jednej z nich było równe 4% w stosunku rocznym i pieniądze wypłacono z niej po upływie 1 roku. Oprocentowanie drugiej wynosiło 2% w stosunku rocznym i pieniadze wypłacono z niej po upływie 2 lat. Która wypłata była wyższa i o ile?

Obliczenia procentowe

1. Zmieszano 350 g 15-procentowego roztworu cukru z pewną ilością 20-procentowego roztworu cukru i otrzymano 0,5 kg roztworu. Ile cukru jest w tym roztworze?

2. Woda stanowi 90% pewnego świeżego owocu. Ten sam owoc po wysuszeniu zawiera 40% wody.
a) Ile waży owoc po wysuszeniu, jeśli świeży ważył 600 g?
b) Ile ważył owoc przed wysuszeniem, jeśli po wysuszeniu waży 120 g?

3. Suma liczb a i b wynosi c. Liczba a stanowi 40% liczby c.
a) Oblicz liczbę b, jeżeli c = 1230.
b) Jakim procentem liczby b jest liczba a?
c) Jakim procentem liczby a jest liczba b?

4. Cenę parasolki obniżano 3 razy, za każdym razem o 10%. Teraz można ją kupić za 43 zł 74 gr. Ile kosztowała parasolka przed pierwszą obniżką?

5. Na dwie lokaty wpłacono po 1000 zł. Oprocentowanie na jednej z nich było równe 4% w stosunku rocznym i pieniądze wypłacono z niej po upływie 1 roku. Oprocentowanie drugiej wynosiło 2% w stosunku rocznym i pieniądze wypłacono z niej po upływie dwóch lat. Która wypłata była wyższa i o ile?

Dowodzenie w geometrii

1. Kąt C trójkąta równoramiennego ABC został podzielony na trzy równe części, tak, jak na rysunku. Wykaż, że:
β= 60 + 1/3 α

 2. Wykaż, że zgodnie z oznaczeniami na rysunku poniżej: a+b+c+d = 360 - 2α

 3. Wykaż, że przy takich oznaczeniach jak na rysunku:

β= 2 α - 180

4. Wewnątrz równoległoboku wybrano dowolny punkt i połączono go odcinkami z wierzchołkami tak, jak pokazano na rysunku. Wykaż, że suma pól trójkątów I i III jest równa sumie pól trójkątów II i IV.

5. Dwa trapezy równoramienne ABDG i DEFG połączono krótszymi podstawami tak, jak na rysunku. Wykaż, że czworokąt ABEF też jest trapezem równoramiennym.

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

1. Bok rombu ma długość 7 cm, a jedna z jego przekątnych ma 10 cm. Oblicz pole tego rombu.

2. Krótsza przekątna trapezu prostokątnego ma długość 8 cm i dzieli ten trapez na dwa trójkaty prostokątne równoramienne. Oblicz pole tego trapezu.

3. Jedna z podstaw trapezu ma długość 20, każde z ramion ma długość 13, a wysokość wynosi 12. Oblicz pole tego trapezu. Rozważ trzy przypadki.

4. Oblicz pole rombu zbudowanego z dwóch trójkątów równobocznych, jeżeli dłuższa przekątna rombu ma długość 6.

5. Oblicz wysokość trapezu równoramiennego o danej przekątnej d oraz podstawach długości 6 i 10.
a) d = 10
b) d = 12
c) d = 16

Twierdzenia Pitagorasa

1. Maciek znalazł w dziupli kartkę ze wskazówkami, gdzie ukryty jest skarb. 
Idź przed siebie 60 kroków, następnie skręć w lewo i przejdź 80 kroków. Tam, gdzie się zatrzymasz, zakopany jest skarb.
W jakiej odległości od drzewa zakopany jest skarb?

2. Oblicz wysokość  opuszczoną na podstawę trójkąta równoramiennego o bokach 10 cm, 10 cm, 12 cm.

3. Boki trapezu równoramiennego  mają długości 5 cm, 4 cm, 5 cm i 10 cm. Oblicz pole tego trapezu.

4. Helikopter wystartował z lotniska i po pokonaniu 5 km w kierunku południowym wylądował, by wziąć chorego. Następnie poleciał do szpitala odległego o 12 km w kierunku wschodnim. Jaka jest odległość w linii prostej szpitala od lotniska?

5.Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątne i przyprostokątna mają podane długości:
a) 5 cm, 3 cm
b) 6 dm, 2 dm